Question

已知向量a=(sinθ,cosθ-2sinθ),b=(2,1)(1)若向量a平行向量b，求tanθ的值。(2)若|向量a|=|向量b|，π/4<

已知向量a=(sinθ,cosθ-2sinθ),b=(2,1)(1)若向量a平行向量b，求tanθ的值。(2)若|向量a|=|向量b|，π/4<θ＜π，求 θ的值.

Answer 1

(1)因为a与b平行，所以a×b=0即a×b=sinθ-2cosθ+4sinθ=0，
即5sinθ=2cosθ，tanθ=2/5。
(2)|a|^2=sinθ^2+(cosθ-2sinθ)^2=sinθ^2+4sinθ^2+cosθ^2-4sinθcosθ=4(sinθ^2-sinθcosθ)+1，
|b|^2=5，
若|a|=|b|，则4(sinθ^2-sinθcosθ)+1=5，即sinθ^2-sinθcosθ=1，
又因为sinθ^2=(1-cos2θ)/2，sinθcosθ=sin2θ/2，化简上式得到(1-cos2θ)/2+sin2θ/2=1，
即sin2θ-cos2θ=1，因为π/4<θ＜π，可以发现θ=π/2是其一解，对其单调性等分析可知只有这一解。

Answer 2

1、∵a∥b

∴(cosθ-2sinθ)/sinθ=2

即cosθ-2sinθ=2sinθ

∴cosθ=4sinθ

∴tanθ=sinθ/cosθ=1/4

2、|a|=|b|

即sin²θ+(cosθ-2sinθ)²=1²+2²

即1-4sinθcosθ+4sin²θ=5

∴2sin²θ-2sinθcosθ=2

即1-cos2θ-sin2θ=2

∴sin2θ+cos2θ=-1

即√2sin(2θ+π/4)=-1

∴sin(2θ+π/4)=-√2/2

∵0＜θ＜π

∴π/4＜2θ+π/4＜9π/4

∴2θ+π/4=5π/4或2θ+π/4=7π/4

∴θ=π/2或θ=3π/4