Question

已知递增的等比数列{an}中，a5-a1=15，a4-a2=6。

若数列{cn}满足：cn=an分之1，数列{cn}的前n项和为Tn，试比较Tn与2的大小

Answer 1

等比数列为递增数列，首项a1>0，公比q>1或首项a1<0，公比0<q<1。
a5-a1=a1(q^4-1)=15 (1)
a4-a2=a1(q^2-q)=6 (2)
(1)/(2)
(q^4-1)/(q^2-q)=5/2
(q^2+1)(q+1)(q-1)/[q(q-1)]=5/2
(q^2+1)(q+1)/q=5/2
整理，得
2q^3+2q^2-3q+2=0
2q^3+4q^2-2q^2-4q+q+2=0
2q^2(q+2)-2q(q+2)+(q+2)=0
(q+2)(2q^2-2q+1)=0
2q^2-2q+1=2(q-1/2)^2+1/2>0，因此只有q+2=0 q=-2
q=-2代入a1(q^2-q)=6
a1=6/(q^2-q)=6/(4+2)=1
数列{an}的通项公式为an=6^(n-1)
cn=1/an=1/6^(n-1)
c1=1
数列{cn}是以1为首项，1/6为公比的等比数列。
Tn=[1-(1/6)^n]/(1-1/6)=(6/5)[1-(1/6)^n]
随n增大，(1/6)^n单调递减，1-(1/6)^n<1且单调递增。
Tn<6/5<2