Question

在球坐标系中，x=rsinθcosφ，y=rsinθsinφ，z=rcosθ

我想问如果r对x求偏导，那么结果就为x/r = sinθcosφ。
但如果x对r求偏导，结果为sinθcosφ（因为x=rsinθcosφ，我把sinθcosφ，这里是不是错了？），那样岂不是r对x求偏导等于x对r求偏导了吗？
我确定r对x求偏导的结果是正确的，那么只能是x对r求偏导的结果错了，但是我不知道错在哪？求大神给我解释一下吧

Answer 1

x对r求偏导是正确的，结果为sinθcosφ。
但是r对x求偏导是错误的。
因为r=x/(sinθcosφ),r此时是x,θ,φ的函数。
r对x求偏导,结果应该是：1/(sinθcosφ).
二者是不相等的。

Answer 2

r是xyz的函数，和θ φ是独立的
r对x求偏导数，需要用这个函数 r=√(x²+y²+z²)
偏导数= x/√(x²+y²+z²) = x/r

追问

那我x对r求偏导呢？x=rsinθcosφ，所以x对r求偏导是不是等于sinθcosφ？

追答

是的，没有错。在重积分的时候需要用到这种换算