Question

如图,抛物线y=(x+1)^2+k与x轴交与AB两点

（1）求抛物线的对称轴及k的值
（2）抛物线的对称轴上存在一点P，使的PA+PC的值最小，求此时点P的坐标
（3）M是抛物线上的一个动点，且在第三象限
1.当点M运动到何处时，三角形AMB的面积最大？求出三角形AMB的最大面积及此时的点M的坐标
2.当点M运动到何处时，四边形AMCB的面积最大？求出四边形AMCB的最大面积及此时的M点的坐标

Answer 1

解：（1）∵抛物线的解析式为：y=（x+1）²+k，
∴其对称轴为：直线x=-1．
∵抛物线y=（x+1）²+k过点C（0，-3），
∴-3=（0+1）²+k，解得k=-4；

（2）如图，∵两点之间线段最短，
∴当P点在线段AC上就可使PA+PC的值最小．
又∵P点要在对称轴上，
∴P点应为线段AC与对称轴直线x=-1的交点，
由（1）可知，抛物线的表达式为：y=（x+1）²-4=x²+2x-3．
令y=0，则x²+2x-3=0．
解得：x₁=-3，x₂=1．
∴点A、B的坐标分别是A（-3，0）、B（1，0），
设直线AC的表达式为y=kx+b，则

−3k+b＝0 b＝−3.

解得 

k＝−1 b＝−3.

∴直线AC的表达式为y=-x-3，
当x=-1时，y=-（-1）-3=-2．
∴此时点P的坐标为（-1，-2）；

（3）依题意得：当点M运动到抛物线的顶点时，△AMB的面积最大．
∵抛物线表达式为y=（x+1）²-4，
∴抛物线的顶点坐标为（-1，-4），即MD=4，
∴点M的坐标为（-1，-4），
∴△AMB的最大面积S_△AMB=

1

2

AB•MD=

1

2

×（3+1）×4=8

Answer 2

y=(x+1)^2+k
对称轴是x=-1
题目中再无其他可计算数据
故k值无法求出