Question

初三数学二次函数 如图,抛物线y=x²+bx+c交x轴于A、B两点,交y轴于点C,已知B(3,0),C(0,-3)(3)过

如图,抛物线y=x²+bx+c交x轴于A、B两点,交y轴于点C,已知B(3,0),C(0,-3)
（1）求二次函数解析式
（2)过点A的直线y=﹣x—1交抛物线于点G，点P是直线AG下方抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，△APG的面积最大？求出此时点P的坐标和△APG的最大面积
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Answer 1

第一题直接将两个点带入求解 联列可以求出解析式 第二题可以设P点的坐标为（x,y） 应为在抛物线上 可以用x来表示P的坐标 然后AG线段可以求出长度 就可以用x表示出三角形的面积 算出来肯定也是个二次函数 求解最大值就是了

追问

三角形面积怎么表示？
能不能写下过程啊？ 谢了

追答

先把那几个点算出来 A（-1,0） G(2,-3)
应为AG是固定的长度 所以高最大时面积就最大 所以直接求P到AG的最大距离就行了 我们设P(x1,x1^2-2x1-3) 运用点到直线的距离公式 可知距离d=x1^2-x1-2的绝对值除以根号2 然后根据图形上可以看出x1的取值是-1<x1<2 然后将x1^2-x1-2分解可知 它是小于0的 所以去绝对值加负号 所以是个开口向下的二次函数y=-x1^2+x1+2 对称轴在取值范围内 所以在对称轴处取最大x1=1/2 将它带入我们要的d中 就知道高了 而AG的长也知道是3倍根号2 就可以求解面积了

Answer 2

先求y=-x-1和抛物线的交点：
y=-x-1代入y=x²-2x-3中，得-x-1=x^2-2x-3，即x^2-x-2=0，即(x-2)(x+1)=0
因此交点为A(-1,0)和G(2,-3)

设P(t,t^2-2t-3)。辅助线：延长PG交x轴于E点。
则PG的方程（两点式）：y+3=(-3-t^2+2t+3)/(2-t)*(x-2)
即y=t*x-(2t+3)
E的坐标：t*x-(2t+3)=0
x=(2t+3)/t
所以E((2t+3)/t,0)
所以三角形APE的面积S1=((2t+3)/t+1)*(3+2t-t^2)/2=15/2+9/(2t)+3t/2-3t^2/2
（由于P的纵坐标是负的求面积时取相反数了）
再算三角形AGE的面积S2=((2t+3)/t+1)*3/2=9/2*(1+1/t)
所以，三角形APG的面积S=S1-S2=3+3t/2-3t^2/2
于是……取它的最大值你应该会了~噗~累死了

忘了说明一下，最后取S的最大值记得限制t的范围，因为说了t是在AG下面的抛物线上，因此-1≤t≤2