Question

如图，一条直线与反比例函数Y=K/X的图象交于A（1，4）B（4，N）两点，与X轴交于D

如图，一条直线与反比例函数Y=K/X的图象交于A（1，4）B（4，N）两点，与X轴交于D点，AC⊥X轴，垂足为C．
（1）如图甲，①求反比例函数的解析式；②求N的值及D点坐标；
（2）如图乙，若点E在线段AD上运动，连结CE，作∠CEF=45°，EF交AC于F点．
①试说明△CDE∽△EAF；
②当△ECF为等腰三角形时，直接写出F点坐标                             ．

Answer 1

解：（1）①∵点A（1，4）在反比例函数图象上
∴k=4
即反比例函数关系式为y=4 x ；
②∵点B（4，n）在反比例函数图象上
∴n=1
设一次函数的解析式为y=mx+b
∵点A（1，4）和B（4，1）在一次函数y=mx+b的图象上
∴ m+b=4 4m+b=1 解得 m=-1 b=5
∴一次函数关系式为y=-x+5
令y=0，得x=5
∴D点坐标为D（5，0）；
（2）①证明：∵A（1，4），D（5，0），AC⊥x轴
∴C（1，0）
∴AC=CD=4，
即∠ADC=∠CAD=45°，
∵∠AEC=∠ECD+∠ADC=∠ECD+45°，
∠AEC=∠AEF+∠FEC=∠AEF+45°，
∴∠ECD=∠AEF，
△CDE和△EAF的两角对应相等，
∴△CDE∽△EAF．
②当CE=FE时，由△CDE≌△EAF可得AE=CD=4，DE=AF=4﹙根号 2 -1），
∵A（1，4），
∴F点的纵坐标=4-AF=4-4（ 根号2 -1）=8-4 根号2
∴F﹙1，8-4 根号2 ﹚
当CE=CF时，由∠FEC=45°知∠ACE=90°，此时E与D重合，
∴F与A重合，
∴F（1，4）
当CF=EF时，由∠FEC=45°知∠CFE=90°，显然F为AC中点，
∴F（1，2）
当△ECF为等腰三角形时，点F的坐标为F1(1，2)；F2(1，4)；F3(1，8-4 根号2 )

Answer 2

解：（1）①∵点A（1，4）在反比例函数图象上
∴k=4
即反比例函数关系式为y=4x；
②∵点B（4，n）在反比例函数图象上
∴n=1
设一次函数的解析式为y=mx+b
∵点A（1，4）和B（4，1）在一次函数y=mx+b的图象上
∴{m+b=44m+b=1
解得{m=-1b=5
∴一次函数关系式为y=-x+5
令y=0，得x=5
∴D点坐标为D（5，0）；
（2）①证明：∵A（1，4），D（5，0），AC⊥x轴
∴C（1，0）
∴AC=CD=4，
即∠ADC=∠CAD=45°，
∵∠AEC=∠ECD+∠ADC=∠ECD+45°，
∠AEC=∠AEF+∠FEC=∠AEF+45°，
∴∠ECD=∠AEF，
△CDE和△EAF的两角对应相等，
∴△CDE∽△EAF．
②当CE=FE时，由△CDE≌△EAF可得AE=CD=4，DE=AF=4﹙2-1）∴F﹙1，8-42﹚
当CE=CF时，由∠FEC=45°知∠ACE=90°，此时E与D重合，∴F与A重合∴F（1，4）
当CF=EF时，由∠FEC=45°知∠CFE=90°，显然F为AC中点∴F（1，2）
当△ECF为等腰三角形时，点F的坐标为F1

Answer 3

（1）Y=K/X，过点（1，4），则4=K/1，K=4
反比例函数的解析式为Y=4/X，
当X=4时，N=4/4=1，
设直线方程为y=ax+b，直线过点（1，4）和（4，1），可求得y=-1x+5.
D点在直线上，把y=0代入直线方程，可得x=5，则D(5,0)
(2)
1.由于CD=AC=4，则∠CDE=∠CAD=45°……①
∠AFE=∠FCE+∠CEF=∠FCE+45°
∠CED=∠FCE+∠CAD=∠FCE+45°
故∠AFE=∠CED……②
由①②可得，△CDE∽△EAF
2.F(1,2)
提示：△ECF为等腰直角三角形，△AEF也为等腰直角三角形，CF=EF=AF

Answer 4

解：（1）①∵点A（1，4）在反比例函数图象上
∴k=4
即反比例函数关系式为y=4 x ；
②∵点B（4，n）在反比例函数图象上
∴n=1
设一次函数的解析式为y=mx+b
∵点A（1，4）和B（4，1）在一次函数y=mx+b的图象上
∴ m+b=4 4m+b=1
解得 m=-1 b=5
∴一次函数关系式为y=-x+5
令y=0，得x=5
∴D点坐标为D（5，0）；

（2）①证明：∵A（1，4），D（5，0），AC⊥x轴
∴C（1，0）
∴AC=CD=4，
即∠ADC=∠CAD=45°，
∵∠AEC=∠ECD+∠ADC=∠ECD+45°，
∠AEC=∠AEF+∠FEC=∠AEF+45°，
∴∠ECD=∠AEF，
△CDE和△EAF的两角对应相等，
∴△CDE∽△EAF．
②当CE=FE时，由△CDE≌△EAF可得AE=CD=4，DE=AF=4（√ 2 -1），
∵A（1，√ 4），
∴F点的纵坐标=4-AF=4-4（√ 2 -1）=8-4 √ 2
∴F﹙1，8-4√ 2 ﹚
当CE=CF时，由∠FEC=45°知∠ACE=90°，此时E与D重合，
∴F与A重合，
∴F（1，√ 4）
当CF=EF时，由∠FEC=45°知∠CFE=90°，显然F为AC中点，
∴F（1，√ 2）
当△ECF为等腰三角形时，点F的坐标为F1(1，√ 2)；F2(1，√ 4)；F3(1，8-4√ 2 )

Answer 5

（1）Y=K/X，过点（1，4），则4=K/1，K=4
反比例函数的解析式为Y=4/X，
当X=4时，N=4/4=1，
设直线方程为y=ax+b，直线过点（1，4）和（4，1），可求得y=-1x+5.
D点在直线上，把y=0代入直线方程，可得x=5，则D(5,0)
(2)
1.由于CD=AC=4，则∠CDE=∠CAD=45°……①
∠AFE=∠FCE+∠CEF=∠FCE+45°
∠CED=∠FCE+∠CAD=∠FCE+45°
故∠AFE=∠CED……②
由①②可得，△CDE∽△EAF
2.F(1,2)

Answer 6

由A（1，4）D（5，0）
可得△ACD为等腰直角三角形，于是可得∠CAD=∠CDA=45度 （一个相等角）
又因为∠AEF+∠FEC（45度）=∠ECD+∠CDA（45度） 于是可得 ∠AEF=∠ECD（第二个相等角）
于是可得三角形相似
第二问②F点横坐标是 1定了，只需要求纵坐标就行
三种情况，如果两腰是FC=FE可得，∠FCE=∠FEC=∠ECD=45度
那么可得△CDE也是等腰直角三角形EF‖CD，可得F点纵坐标为2
F（1，2）
第二种情况，如果两腰是FC=EC可得，∠CFE=∠CEF=45度，那么此时△CEF和△CDA重合，此时F点与A点坐标重合，坐标为（1，4）
第三种情况也是最复杂的，就是两腰为FE=EC，过C做EF的垂线，分别交EF和AD于G，H然后利用45度，和相似三角形的角相等，可的△ACE也是等腰三角形，且与△EFC相似，可得AE=AC=4则E点纵坐标Y/AC=BE/AB
也就是Y/4=（4×1.414-4）/4×1.414
可得Y=1.17或者是Y=4-2×（2的平方根