Question

已知f(x)={a-x²-4x(x＜0） f(x-2)(x≥0）}且函数y=f(x)-2x恰有3个不同的零点，则实数a

的取值范围是（ ）A.[-8,+∞） B.[-4,+∞) c.[-4,0] D.(0,+∞)

Answer 1

f(x)={a-x²-4x(x＜0）f(x-2)(x≥0）}
当x属于[0,2)时，x-2属于[-2,0)<0,此时f(x)=f(x-2)=a-(x-2)²-4(x-2)
当x属于[2,4)时，x-4属于[-2,0)<0,此时f(x)=f(x-2)=f(x-4)=a-(x-4)²-4(x-4)
依次类推，f(x)在x＜0时为二次函数a-x²-4x=-(x+2)²+a+4，
在x≥0上为周期为2的函数，重复部分为a-x²-4x=-(x+2)²+a+4在区间[-2,0)上的部分。
二次函数a-x²-4x=-(x+2)²+a+4顶点为（-2，a+4），
y=f(x)-2x恰有3个不同的零点，即f(x)与2x恰有3个不同的交点，需满足f(x)与2x在x＜0时有两个交点（1）且0<=a+4<4（2）,
由（1）y=f(x)-2x有两个根且两个根都小于0，得到-8<a<0
由（2）得到-4<=a<0
最终得到-4<=a<0,选C。