Question

如图，在梯形ABCD中，AD平行BC，对角线AC⊥BD。若AD=3，BC=7，则梯形ABCD面积的最大值为多少？

Answer 1

设AC、BD交于O，并设AO=a，OD=b。
因为 AD//BC ，则Rt△AOD∽Rt△COB ，
因此 OB=7/3*b，OC=7/3*a 。
因为 a^2+b^2=9 ，且 a^2+b^2>=2ab ，因此 ab<=9/2 。
所以
S梯形=SAOD+SAOD+SBOC+SCOD
=1/2*(ab+7/3*ab+49/9*ab+7/3*ab)
=50/9*ab
<=50/9*9/2
=25 ，
因此，梯形面积最大值为 25 。（当a=b=√3时取最大）

Answer 2

解：过D作DE∥AC，交BC于E，则得平行四边形ACED，CE=AD=3

∵AC⊥BD，∴DE⊥BD，△BDE为直角三角形

取BE中点F，连接DF，则DF=BE/2=10/2=5

根据垂线段最短，过D作BE垂线段DH，则DH≤DF=5

∴S梯形ABCD=（AD+BE）DH/2≤（AD+BE）DF/2=（3+7）5/2=25