Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD，若AD=3，BC=7，则梯形ABCD面积的最大值 ．

关键是：面积最大时，是什么情况？思路是什么？

Answer 1

解：作DF∥AC叫BC的延长线于F
那么ACFD为平行四边形，三角形BDF为直角三角形
所以S△CFD=S△ACD=S△ABD
所以S△CFD+S△BCD=S△ABD+S△BCD
即S△BDF为梯形的面积
且有BF=AD+BC=10
设DB=a，DF=b
根据勾股定理，有a^2+b^2=10^2=100
S△BDF=ab/2≤（a^2+b^2）/4=25 ，当a=b时取等号
所以梯形的最大面积是25
= =25.....

Answer 2

作DF∥AC叫BC的延长线于F
那么ACFD为平行四边形，三角形BDF为直角三角形
所以S△CFD=S△ACD=S△ABD
所以S△CFD+S△BCD=S△ABD+S△BCD
即S△BDF为梯形的面积
且有BF=AD+BC=10
设DB=a，DF=b
根据勾股定理，有a^2+b^2=10^2=100
因为a^2+b^2-2ab=（a-b）^2≥0，也就是a^2+b^2≥2ab
两边除以4，得（a^2+b^2）/4≥ab/2
S△BDF=ab/2
ab/2≤（a^2+b^2）/4=25 ，当a=b时取等号
所以梯形的最大面积是25