Question

数学概率问题，问题答案不重要，关键是过程，谢谢！

假设你有20封不同的信和10个分别写好地址的信封。这20封信分成10对，每对信件分属于这10个信封。假设你随机将20封信放在这10个信封内，每个信封有两封信（也就是一对）。请问 10个信封之中有3个信封放有正确的三对信件的几率有多大？

Answer 1

古典概型
放法总数的计算：把20封信平均分成10组并排列
C(20,2)*C(18,2)…C(2,2)=20!/2^10 ……③
10个信封之中有3个信封放有正确的三对信件的放法数量
这个分两步进行
第一步在10个信封之中有3个信封放有正确的三对信件的信封组合数量是C(10,3)
第二步算出其他的14封信与7个信封不匹配的数量(任一信封与信封里的两信不匹配，包括完全不匹配和部分不匹配）
14封信放入7个信封共有放法数量C(14,2)C(12,2)C(10,2)…C(2,2)=14!/2^7 ………①
14封信放入7个信封中至少有1个信封与一对信匹配的放法数量C(7,1)12!/2^6-C(7,2)10!/2^5+C(7,3)8!/2^4-C(7,4)6!/2^3……+C(7,7）=∑(－1)^(n-1)C(7,n)(14-2n)!/2^(7-n)(n从1到7)……②
所以14封信与7个信封不匹配的数量=①-②
10个信封之中有3个信封放有正确的三对信件的信封的放法数量是C(10,3)*(①-②)
10个信封之中有3个信封放有正确的三对信件的概率=C(10,3)*(①-②)/③

答案是：0.0000318695691523185

Answer 2

先指定3个组和3个信封对应，有C(10,3)种方法；
对于指定后余下的信和信封，不能有对应的，
下面求指定3个对应组放入对应信封后，没有信和信封对应的概率，不妨设指定了8,9,10组信和对应3个信封已经选定，放好；
设Ai=“第i组信和第i个信封对应放好”，i=1,2,3，...，7；
P(至少有一组信和信封对应)=P(A1+A2+...+A7)
=P(A1)+P(A2)+...+P(A7)-ΣP(AiAj)+...+P(A1A2...A7)
=C(7,1)*12!*2/(14!)-C(7,2)*10!*2^2/(14)+C(7,3)*8!*2^3/(14!)-C(7,4)*6!*2^4/(14!)+...+C(7,7)*0!*2^7/(14!)
=Σ{k=1→7}*C(7,k)*(14-2k)!*2^k / 14!
所以
P(余下7封信没有一组信和信封对应）
=1-P(至少有一组信和信封对应)
=1-Σ{k=1→7}*C(7,k)*(14-2k)! *2^k/14!
因此，
P(恰有3组信和信封对应）
=C(10,3)* [1-Σ{k=1→7}*C(7,k)*(14-2k)! *2^k/ 14!]
另，好像在数学问题中，很少有人说：“几率”。