Question

帮帮忙！概率论 已知X ~ N (0,1) ，求Y = X 2（平方） 的概率密度.

这类题看了很都都看不懂不知怎么个思路，很多步骤看不懂，如F(y)=P(-√y<=X<=√y)=φ(√y)-φ(-√y)=2φ(√y)-1
，另外有一个答案是)=φ(√y)-1
不知哪个对，咋做的？
F(y)=P(-√y<=X<=√y)是不是F(y)=F(√y）-F(-√y),又怎么化成φ的形式

Answer 1

先求分布函数再求概率密度
F(y)=P(Y<=y)=P(X^2<=y)
当y<=0时，F(y)=0
当y>0时，F(y)=P(-√y<=X<=√y)=φ(√y)-φ(-√y)=2φ(√y)-1
所以f(y)=F'(y)=(√2πy)^(-1)e^(-y/2),y>0

综上
f(y)=0,y<=0
f(y)=(√2πy)^(-1)e^(-y/2),y>0

注：√2πy中y在根号里。

追问

这类题看了很都都看不懂不知怎么个思路

追答

概率密度是分布函数的导数
所以可以先求分布函数再求概率密度

追问

这类题看了很都都看不懂不知怎么个思路，很多步骤看不懂，如F(y)=P(-√y<=X<=√y)=φ(√y)-φ(-√y)=2φ(√y)-1
，另外有一个答案是)=φ(√y)-1
不知哪个对，咋做的？
F(y)=P(-√y<=X<=√y)是不是F(y)=F(√y）-F(-√y),又怎么化成φ的形式

追答

X ~ N (0,1) 所以f(x)=/1√2π*e^(-x^2/2) φ(x)=∫f(x)dx 积分上限是x 下限是负无穷大
φ(√y)就是用√y来代替φ(x)中的位置x，好写一点

追问

φ(√y)的导数怎么算，最后那步看不懂了

追答

这个是积分上限是√y的求导，即是一个复合函数的求导
令√y=z，则先求φ(z)的导数，再求√y的导数，然后两个导数相乘就是结果，当然最后z还是由√y来代替

Answer 2

供参考