Question

极限问题求解

图中这道极限问题如何求解？我解的过程是否正确，另外我有一个疑惑就是极限的重要公式能不能在加减中使用？

Answer 1

过程是对的，结果也是对的。只不过显得过程“冗长”了一些。
分享一种较“简捷”的解法，直接用等价无穷小量替换求解。
∵x→0时，ln(1+x)=x-x²/2+O(x²)、ex=1+x+O(x)。∴ln(1+x)=x-x²/2、e^x~1+x。
本题中，n→∞时，1/n→0。∴nln(1+1/n)~n[1/n-(1/2)/n²]=1-1/(2n)。
∴(1+1/n)^n=e^[nln(1+1/n)~e^[1-1/(2n)=e*e^[-1/(2n)]~[1-1/(2n)]e。
∴原式=lim(n→∞)n[1-1/(2n)-1]e=-e/2。
供参考。

追问

嗯，我知道了，我想问一下重要极限公式能不能在加减中使用？

追答

按照极限的四则运算规则，满足“lim(x→a)f(x)=A、lim(x→a)g(x)=B，则lim(x→a)f(x)g(x)=lim(x→a)f(x)*lim(x→a)g(x)=AB”条件即可。
你在解题中，有“lim(t→0){[t-(t+1)ln(1+t)]/[t²(1+t)]}*(1+t)^(1/t)”。∵lim(t→0){[t-(t+1)ln(1+t)]/[t²(1+t)]}=-1/2、lim(t→0)(1+t)^(1/t)=e，满足前述运算规则的应用条件，故可以运用。
供参考哈！

追问

好的，谢谢！

追答

不客气。
在加减运算中，须慎用。一般要将其转换成“乘积”模式下进行。因为“加减”模式下，其本质依然是“0-0”或者“∞-∞”型的不确定式。
供参考哈！

追问

嗯嗯

Answer 2

思路是对的，可以直接提个e出去，然后等价无穷小就OK。不能直接在±里用特殊极限

Answer 3

好无辜我吃饭饭反反复复方法出差点睡着了

Answer 4

可以这样用没有问题的

Answer 5

%看看是不是就爱阿宝