Question

若函数f'(x)是为一次函数，且对任意X∈R恒有X^2f'(x)-(2x-1)f(x)=1,则f(x

若函数f'(x)是为一次函数，且对任意X∈R恒有X^2f'(x)-(2x-1)f(x)=1,则f(x)=?
是X^2·f'(x)-(2x-1)f(x)=1,则f(x)=?

先x平方在和f'(x)相乘

Answer 1

解：设f'(x)=2ax+b
则：f(x)=ax^2+bx+c
所以有：x^2(2ax+b)-(2x-1)(ax^2+bx+c)=1
展开得：
2ax^3+bx^2-2ax^3-2bx^2-2cx+ax^2+bx+c-1=0
(a-b)x^2+(b-2c)x+c-1=0
即：
a-b=0, b-2c=0 c-1=0
解得：a=2,b=2,c=1
所以可得：f(x)=2x^2+2x+1

Answer 2

这就简单了，将方程两边除以X^2化成一个一次导数的方程然后求积分就可以了