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第一步，利用分部积分法。
dθ/(cosθ)^3
=secθd(tanθ)
=secθtanθ-tanθd(secθ)
=secθtanθ-secθ(tanθ)^2dθ
=secθtanθ-(sinθ)^2/(cosθ)^3dθ
第二步，将(sinθ)^2转换为1-(cosθ)^2
secθtanθ-(sinθ)^2/(cosθ)^3dθ
=secθtanθ-dθ/(cosθ)^3+secθdθ
第三步，移项dθ/(cosθ)^3，得
2dθ/(cosθ)^3=secθtanθ+secθdθ
dθ/(cosθ)^3
=[secθtanθ+ln|secθ+tanθ|]/2+C
第四步，求在[0,π/4]上的定积分
令f(θ)=[secθtanθ+ln|secθ+tanθ|]/2
f(0)=0，f(π/4)=[根号2+ln(1+根号2)]/2
因此，积分结果为[根号2+ln(1+根号2)]/2
dθ/(cosθ)^3
=secθd(tanθ)
=secθtanθ-tanθd(secθ)
=secθtanθ-secθ(tanθ)^2dθ
=secθtanθ-(sinθ)^2/(cosθ)^3dθ
第二步，将(sinθ)^2转换为1-(cosθ)^2
secθtanθ-(sinθ)^2/(cosθ)^3dθ
=secθtanθ-dθ/(cosθ)^3+secθdθ
第三步，移项dθ/(cosθ)^3，得
2dθ/(cosθ)^3=secθtanθ+secθdθ
dθ/(cosθ)^3
=[secθtanθ+ln|secθ+tanθ|]/2+C
第四步，求在[0,π/4]上的定积分
令f(θ)=[secθtanθ+ln|secθ+tanθ|]/2
f(0)=0，f(π/4)=[根号2+ln(1+根号2)]/2
因此，积分结果为[根号2+ln(1+根号2)]/2
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