Question

已知函数y=log3（mx2+8x+n）/（x2+1）的定义域为R，值域为[0,2]，求常数m，n的值！ 要过程谢谢！

看图

Answer 1

0=<log3[(mx^2+8x+n)/(x2+1)]<=2
1=<(mx^2+8x+n)/(x2+1)<=9
由于x^2+1恒大于0，不等式两边同乘以x^2+1，不等号方向不变。
x^2+1<=mx^2+8x+n (1)
mx^2+8x+n<=9x^2+9 (2)
由x属于R，函数恒有意义，因此mx^2+8x+n恒>0 可以推出m>0且
方程mx^2+8x+n=0方程判别式<0
64-4mn<0 mn>16
还可以推出，上面的两个不等式，无论x取何值，不等式恒成立。

先看(1)
(m-1)x^2+8x+n-1>=0,定义域为R，即不等式恒成立，则有m-1>0
64-4(m-1)(n-1)<=0

再看(2)
(9-m)x^2-8x+9-n>=0,定义域为R，即不等式恒成立，则有9-m>0
64-4(m-9)(n-9)<=0

1<m<9 1<n<9
(m-1)(n-1)>=16
(m-9)(n-9)>=16
mn>16
只要找到的m,n满足上面四个条件，都可以。

解得只有m=n=5时，满足条件。