Question

b＞a＞0,(lnb-lna)/(b-a)=1/c,求证c＞(a+b)/2

Answer 1

设b=a+c,c>0
则lnb-lna=ln(b/a)=ln(1+c/a)
2(b-a)/(a+b)=2c/(2a+c)
令t=c/a
则lnb-lna=ln(1+t),2(b-a)/(a+b)=2t/(2+t)
令f(t)=ln(1+t)- 2t/(2+t)
f'(t)=1/(1+t) -4t/(t+2)^2=t^2/(t+1)(t+2)^2>0
所以f(t)是增函数
而f(0)=0所以对所有的t>0都有f(t)>0
所以lnb-lna>2(b-a)\（a+b)

追问

怎么能设b=a+c呢，这是个拉格朗日中值定理，c属于a到b而已