Question

在下列情况下，分别讨论f(x)+g(x)与f(x)·g(x)在点x0处的连续性

Answer 1

可能间断也可能连续连续的例子，如果这两个函数满足f=g那么f-g=0必然在x0处连续同样的，如果满足f=-g那么f+g=0必然在x0处连续但是f+g和f-g不可能同时在x0，下面反证，若f+g，f-g都在x0处连续，则 (f+g)(x0+)=(f+g)(x0-)，即f(x0+)-f(x0-)=-(g(x0+)-g(x0-)) (f-g)(x0+)=(f-g)(x0-)，即f(x0+)-f(x0-)=g(x0+)-g(x0-) 则f(x0+)-f(x0-)=g(x0+)-g(x0-)=0 上式说明f，g在x0处连续，与题设矛盾其中f(x0+)表示f在x0处的右极限，f(x0-)表示在x0处的左极限间断的例子令f(x)=0，x=0 g(x)=0，x=0 f，g在0处间断，且f+g，f-g在0处都间断

Answer 2

可能间断也可能连续连续的例子，如果这两个函数满足f=g那么f-g=0必然在x0处连续同样的，如果满足f=-g那么f+g=0必然在x0处连续但是f+g和f-g不可能同时在x0，下面反证，若f+g，f-g都在x0处连续，则 (f+g)(x0+)=(f+g)(x0-)，即f(x0+)-f(x0-)=-(g(x0+)-g(x0-)) (f-g)(x0+)=(f-g)(x0-)，即f(x0+)-f(x0-)=g(x0+)-g(x0-) 则f(x0+)-f(x0-)=g(x0+)-g(x0-)=0 上式说明f，g在x0处连续，与题设矛盾其中f(x0+)表示f在x0处的右极限，f(x0-)表示在x0处的左极限间断的例子令f(x)=0，x=0 g(x)=0，x=0 f，g在0处间断，且f+g，f-g在0处都间断