Question

偏导数为0的点一定是极值点或鞍点吗？

Answer 1

不一定。
以一元函数为例
f(x)=x^2sin1/x当x不为0时
0当x＝0时
在0处导数存在且为0，但既不是极值也不是鞍点。
一元函数尚且如此，多元函数更没有该结论。

Answer 2

不一定，根据下述的定理，请采纳。
(Thm9 多元函数极值的充分条件) 设函数z=f(x,y)z=f(x,y)在点(x0,y0)(x0,y0)的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数，又有fx(x0,y0)=fy(x0,y0)=0fx(x0,y0)=fy(x0,y0)=0，令
A=fxx(x0,y0),B=fxy(x0,y0),C=fyy(x0,y0)A=fxx(x0,y0),B=fxy(x0,y0),C=fyy(x0,y0)
则f(x,y)f(x,y)在(x0,y0)(x0,y0)处是否取得极值的条件如下：

(1) AC−B2>0AC−B2>0时具有极值，且当A<0A<0时具有极大值，当A>0A>0时具有极小值。
(2) AC−B2<0AC−B2<0时没有极值。
(3) AC−B2=0AC−B2=0时是否有极值还需要讨论。

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