Question

求解一道微积分题

C是一个常数，并且使以下积分收敛。求C的值；并求C在此值时该积分的值。
希望能有图片回答，不然公式实在难以看清。

Answer 1

∫[0,∝) (xdx/(1+x^2))-∫[0,∝)Cdx/(1+x)
=lim(x->∝) (1/2)ln(1+x^2)-Cln|x+1|
=lim(x->∝) ln√(1+x^2)/|x+1|^C
C=1
=lim(x->∝)1=0

Answer 2

二楼，三楼思路都对，但积分值都算错了吧。
∫(xdx/(x^2+1))-∫Cdx/(x+2)[0,+∞)
=∫[d(x^2+1)/2(x^2+1)]-C∫d(x+2)/(x+2)[0,+∞)
=(1/2)ln(x^2+1)-Cln|x+2|[0,+∞)
=ln[(x^2+1)^(1/2)/|x+2|^C][0,+∞)
要使该积分收敛，显然只要在x→+∞时，上式极限存在即可。
显然只有当C=1，极限存在。
lim(x→+∞){ln[(x^2+1)^(1/2)/|x+2]}
=ln{lim(x→+∞)[(x^2+1)^(1/2)/|x+2|]
=ln1=0
当C<1时 真数在x→+∞也→+∞了，极限不存在
当C>1时 真数在x→+∞时→0了，而ln(真数→0)，极限也不存在
所以仅当C=1，积分收敛，积分值=ln1-ln(1/2)=ln2

Answer 3

原式
＝[1/2ln(x^2+1)-Cln(x+2)][0,+∞)
=ln[(x^2+1)^(1/2)/(x+2)^C[0,+∞)

因为最后收敛，所以C＝1
积分值为
=-ln3