Question

高中数学解析几何问题

Answer 1

已知方向向量为v=(1,√3）的直线l过点(0,-2√3）和椭圆C：
x²/a²+y²/b²=1(a>b>0）的右焦点且椭圆的离心率e=√6/3.
(1）求椭圆C的方程
(2）若已知点D（3，0），点M
N是椭圆上不重合的两点，且DM=kDN
（带向量符号），求实数k的取值范围
(1)
因为e=c/a=√(a²-b²)/a=√6/3
解得a²=3b²
a=√3b
直线的斜率为：方向向量(1,√3)的斜率
=√3
l过(0,-2√3)
,斜率为√3的方程
为：
y+2√3=√3x①
再令y=0解得x=2
,(2,0就是椭圆的右焦点了)
因为椭圆的右焦点为：(√(a²-b²),0)
√(3b²-b²)=2解得b²=2
a²=3*2=6
椭圆方程为x²/6+y²/2=1①
(2)
首先D(3,0)点在椭圆的外侧。
画图可以知道：
过(3,0)的直线组从与椭圆下方相切到X轴上然后再到与椭圆上方相切
它们的比值是从1（≠1）一直减小的
当到X轴时它最小
当直线为X轴上时，交点分别为左右顶点，分别为M(√6,0),N(-√6,0)
有k=(3-√6)/(3+√6)
反过来看(对调M,N)知它们的比值是从1一直增加的到(3+√6)/(3-√6)
所以有:k∈[(3-√6)/(3+√6),(3+√6)/(3-√6))]且k≠1

既k∈[5-2√6,1)∪(1,5+2√6]