在三角形abc中 角A的平分线AD与BC相交于D,求证BD:DC=AB:AC

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况颖卿濮卯
2020-01-16 · TA获得超过3.5万个赞
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过A作AE⊥BC交BC于E,那么AE就是△ABC的BC边上的高,也是△ABD的BD边上的高,又是△ADC的DC边上的高,
∴有△ABD面积=BD×AE÷2,△ADC面积=DC×AE÷2
∴△ABD面积∶△ADC面积=BD×AE÷2∶DC×AE÷2=BD∶DC
过D作DF⊥AB交AB于F,得到△ADF,过D作DG⊥AC交AC与G,得到△ADG
∵∠DFA=∠DGA=90º,∠DAF=∠DAG(AD平分∠BAC),又AD=AD(公共边)
∴△AFD≌△AGD(角边角对应相等)
∴DF=DG(对应边)
△ABD面积=AB×DF÷2,△ADC面积=AC×DG÷2
∴△ABD面积∶△ADC面积=AB∶AC
∴BD∶DC=AB∶AC(都等于△ABD和△ADC的面积之比)
证明完毕。
创远信科
2024-07-24 广告
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闪士恩储丑
2019-04-11 · TA获得超过3.7万个赞
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在△ABD中,根据正弦定理得
BD/AB=sin∠BAD/sin∠D
在△ACD中,根据正弦定理得
DC/AC=sin∠CAD/sin∠D
∵AD是外角平分线
∴∠BAC+2∠CAD=π
∴∠BAC+∠CAD=π-∠CAD
即∠BAD=π-∠CAD
∴sin∠BAD=sin(π-∠CAD)=sin∠CAD
∴sin∠BAD/sin∠D=sin∠CAD/sin∠D
即BD/AB=DC/AC
∴BD:DC=AB:AC
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