Question

初三几何问题，高手请进来帮忙。

在三角形ABC中，角A等于60度，角C等于90度，延长CA到点D，使得AD=AB，点M在射线BA上，若角CMD=120度，BC=2，则线段BM的长为多少？
答案：2倍根号3 或 2倍根号3-2。

Answer 1

由题设知∠ABC=30°，∠ABD=∠ADB=60°/2=30°，∠CBD=60°，BA是∠CBD的平分线，

若M点在△CBD的外部，∵∠CMD=120°，∠CBD=60°∴C、B、D、M四点共圆，见附图。

∵∠BCD=90°，∴圆心O是BC的中点。连接OC，得等边三角形OCB，

∵BC=2，∴OC=OB=OD=2，BD=4，还有MC=MB=2。

∠BMD=∠BCD=90°，套勾股定理可得BM=√(4²-2²)=2√3。

若M点在△CBD的内部，改记作M'，

∵圆心角∠COD=2∠CBD=120°，∠CM'D=120°，∴C、M'、O、D四点共圆

∵△COD与△CMD关于CD为轴对称，∴CM'OD的外接圆的圆心必是M点，其半径MM'=MO=2，

于是BM'=BM-MM'=2√2-2。