Question

已知方程组3x+y=12 4x+ay=2有正整数解（a为整数），求a的值。

用两种方法，谢谢！

Answer 1

方程组有正整数解即是x，y均是正整数
当a=0时，x=1/2不满足x为正整数，所以a不等于0
将方程3x+y=12两边同时乘以整数a得方程3ax+ay=12a ①
再由方程4x+ay=2 ②
得：①-②得：
(3a-4)x=12a-2 所以x=(12a-2)/(3a-4)=4+14/(3a-4)
因为x为正整数，所以3a-4能被14整除
所以3a-4=1或 3a-4=2或 3a-4=7或 3a-4=14或3a-4=-14或3a-4=-7
而a也是整数，所以a=2或a=6或a=-1
但是当a=2时，y=-21与y是正整数相矛盾
且当a=6时，y=-3也与y是正整数相矛盾
故综上所述：a=-1

Answer 2

3x+y=12 ; 即：y=12-3x;代入4x+ay=2中得：
4x+12a-3ax=2; (4-3a)x=2-12a; x=(12a-2)/(3a-4)=[4(3a-4)+14]/(3a-4)
=4+14/(3a-4)
所以原方程组有正整数解，则：3a-4要整除14；
所以：3a-4=1,2,7,14,-7,-14
得：整数a=2,6,-1,
a=2, x=11,y<0';
a=6.x=5.y<0;
a=-1,x=2,y=6适合
所以a=-1

Answer 3

1式乘以4，2式乘以3，然后1式-2式得
（4-3a)*y=42
y=42/(4-3a) a<4/3
当a=1时， y=42, x=-10 （不符合题意）
当a=-1时， y=6.x=2 (符合）
当a=-2时，y=4.2 (不符）
当a=-3, -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 -11 -12 都不符合
当a=-13时，分母大于分子，y始终小于1，不符合
所以a=-1

追问

谢谢！
请问还能在解一种么？

追答

哪种

追问

是当x= ，y= 时的

追答

可以这样吗

追问

可以的哈。。

追答

不懂，不好意思啊