Question

++++求高人解答++++高中数学导数一章:已知函数的单调性求参数范围

已知函数f(x)=lnx,g(x)=(1/2)ax^2+2x,a≠0
(1)若函数h(x)=f(x)-g(x)存在单调增减区间，求a的取值范围
(2)若函数h(x)=f(x)-g(x)在[1,4]上单调递减,求a的取值范围

求详细解答,关键步骤理由清晰亦可

Answer 1

第一小题

由f(x)=lnx得x的定义域是（0，＋∞）
h'(x)=f'(x)-g'(x)=1/x-ax-2=1/x(-ax^2-2x+1)
若函数h(x)=f(x)-g(x)存在单调增减区间,则h'(x)在x>0区间既有大于零的值也有下于零的值
只要方程-ax^2-2x+1=0有两个不相等的实根（且至少有一个根大于零）
delta=4+4a>0,所以a>-1,方程的两根是x=(1±√1+a)/(-a)，a>-1且a≠0时，总存在一个根大于零
所以函数h(x)=f(x)-g(x)存在单调增减区间时，a的取值范围是a>-1且a≠0。

第二小题

h'(x)=f'(x)-g'(x)=1/x-ax-2=1/x(-ax^2-2x+1)
函数h(x)=f(x)-g(x)在[1,4]上单调递减
分两种情况
情况一：h(x)=f(x)-g(x)在x>0存在单调递减，则a<=-1

情况二：h(x)=f(x)-g(x)存在单调增减区间
①当-1<a<0时，方程-ax^2-2x+1=0的根x1,x2,x1=(1-√1+a)/(-a)<x2=(1+√1+a)/(-a)
只要x2<=1时，函数h(x)=f(x)-g(x)在[1,4]上单调递减
(1+√1+a)/(-a)<=1 √1+a<=-a-1<0,a无解
②当a>0时，方程-ax^2-2x+1=0的根x1,x2,x1=(1-√1+a)/(-a)>x2=(1+√1+a)/(-a)
只要x1<=1时，函数h(x)=f(x)-g(x)在[1,4]上单调递减
√1+a<=a+1,解得a<=-1或a>=0,所以a>0

综上：函数h(x)=f(x)-g(x)在[1,4]上单调递减,a的取值范围为a<=-1或a>0

Answer 2

h `(x)=1/x-ax-2=(-ax^2-2x+1)/x;
设k(x)=-ax^2-2x+1; x>0
▲=4+4a
所以当a>0时，二次函数k(x)的图像的对称轴：x=-1/a<0;
k(x)在(0,+∞)上是减函数；k(0)=1>0;所以k(x)的值有正有负；
则h(x)在(0,+∞)上有增区间，也有减区间；符合题意；
a<=-1时；▲=4+4a<=0; k(x)的值恒非负，
则h(x)在(0,+∞)上只有增区间，没有减区间；不符合题意；
-1<a<0时；二次函数k(x)的图像的对称轴：x=-1/a>0;
k(-1/a)=1/a+1<0; 所以k(x)的值有正有负；
则h(x)在(0,+∞)上有增区间，也有减区间；符合题意；
若函数h(x)=f(x)-g(x)存在单调增减区间，则a的取值范围：-1<a<0或a>0