Question

如图，在圆内接四边形ABCD中，CD为∠BCA的外角的平分线，F为上一点，BC=AF，延长DF与BA的延长线交于E．

如图，在圆内接四边形ABCD中，CD为∠BCA的外角的平分线，F为上一点，BC=AF，延长DF与BA的延长线交于E．
（1）求证：△ABD为等腰三角形．
（2）求证：AC•AF=DF•FE

Answer 1

1、因CD为∠BCA的外角的平分线，有∠MCD=∠DCA，
又∠MCD=∠DAB (圆内接四边形对角和为180度，∠MCD+∠BCD=∠BCD+∠DAB=180)
∠DCA=∠DBA（圆性质：等弧对等角）
则∠DAB =∠DBA，故DB=DA，△ABD为等腰三角形．

2、由DB=DA，则弧BD=弧DA，而BC=AF，有弧BC=弧AF；
两者相减，有弧CD=弧DF（注：点F必须是在弧AD上，而不能在弧AB上，本题没有交代清楚，按图形做的解法），则CD=DF，∠CAD =∠DAF，
∠CDA=∠BDF（弧BC=弧AF），而∠BDF=∠FAE，故∠CDA=∠FAE
∠AFE= ∠DBA= ∠DCA，则△ACD与△EFA相似
故：AC/CD=FE/AF，而CD=DF
故AC•AF=DF•FE

Answer 2

分析：
（1）CD为∠BCA的外角的平分线得到∠MCD=∠ACD，求出∠MCD=∠DAB推出∠DBA=∠DAB即可；
（2）由BC=AF推出CD=DF和∠CDB=∠ADF，证△CDA≌△FDB，得到AC=BF，根据C D F B四点共圆和A F D B四点共圆，推出∠FAE=∠BDF和∠EFA=∠DFB，证△DBF∽△AEF，得到 AF/DF= EF/BF即可推出答案．
解答：
（1）
证明：由题意有∠MCD=∠ACD=∠DBA，
又∠MCD+∠BCD=∠DAB+∠BCD=180°，
∴∠MCD=∠DAB，
∴∠DAB=∠DBA即△．
ABD为等腰三角形．
（2）
由（1）知AD=BD，BC=AF，则弧AFD=弧BCD，弧AF=弧BC，
∴弧CD=弧DF，∴弧CD=弧DF…①
又BC=AF，∴∠BDC=∠ADF，∠BDC+∠BDA=∠ADF+∠BDA，即∠CDA=∠BDF，
而∠FAE+∠BAF=∠BDF+∠BAF=180°，∴∠FAE=∠BDF=∠CDA，
同理∠DCA=∠AFE
∴在△CDA与△FAE中，∠CDA=∠FAE，∠DCA=∠AFE，
∴△CDA∽△FAE，
∴即CD•EF=AC•AF
又由①有AC•AF=DF•EF命题即证

Answer 3

如图

Answer 4

∵∠DBA=∠DAB
∴弧AD=弧BD
又∵BC=AF
∴弧BC=弧AF、∠CDB=∠FDA
∴弧CD=弧DF
∴CD=DF
再由"圆的内接四边形外角等于它的内对角"知
∠AFE=∠DBA=∠DCA①，∠FAE=∠BDE
∴∠CDA=∠CDB＋∠BDA=∠FDA＋∠BDA=∠BDE=∠FAE② 由①②得△DCA∽△FAE
∴AC：FE=CD：AF
AC×AF＝DF×FE