Question

已知f(x)=2x/1+x，设f1(x)=f(x)，fn(x)=f[n-1f(x)]，n=1，2，3…求f2(x)，f3(x)，f4(x)的表达式，并猜...

已知f(x)=2x/1+x，设f1(x)=f(x)，fn(x)=f[n-1f(x)]，n=1，2，3…求f2(x)，f3(x)，f4(x)的表达式，并猜想fn(x)的表达式;并用数学归纳法证明。

Answer 1

已知f(x)=2x/1+x，设f1(x)=f(x)，fn(x)=f[fn-1(x)]，n=1，2，3…
f2(x)=f(f(x))=2f(x)/[1+f(x)]=[2·2x/(1+x)]/[1+2x/(1+x)]=4x/(1+3x)
f3(x)=f(f2(x))=2f2(x)/[1+f2(x)]=[2·4x/(1+3x)]/[1+4x/(1+3x)]=8x/(1+7x)
f4(x)= f(f3(x))=2f3(x)/[1+f3(x)]=[2·8x/(1+7x)]/[1+8x/(1+7x)]=16x/(1+15x)
猜想：fn(x)= f(fn-1(x))=2^nx/[1+(2^n-1)x]
证明：当n=1,n=2时，结论显然成立；
假设当n=k时命题也成立，则当n=k+1时：
fk+1(x)= f(fk(x))=2fk(x)/[1+fk(x)]={2·2^k x/[1+(2^k-1)x)]}/{1+2^k x/[1+(2^k-1)x]}
=[2^(k+1)x]/[1+(2^k-1)x+2^k x]=[2^(k+1)x]/{1+[2^(k+1)-1] x}
所以命题对n=k+1也成立；
由上面的证明可知：命题对一切正整数n都成立。

Answer 2

f2（x）=f《2-1f（x）》=2（2-1f（x））/1+2-1f（x）=4-2f（x）/3-1f（x）=4-4x/（1+x）除以3-2x/1+x=4/（3+x）