Question

怎么判断一个方程是否是全微分方程？

Answer 1

若P(x,y)dx+Q(x,y)dy=du(x,y),则称Pdx+Qdy=0为全微分方程,显然,这时该方程通解为u(x,y)=C(C是任意常数).
根据二元函数的全微分求积定理:设开区域G是一单连通域,函数P(x,y),Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数,则P(x,y)dx+Q(x,y)dy在G内为某一函数u(x,y)的全微分的充要条件是P'(y)=Q'(x),在G内恒成立.
例：判断方程（3x26xy2)dx+(4y3+6x2y)dy=0是否全微分方程，并求其通解
（3x^2+6xy^2)dx+(4y^3+6x^2y)dy=0,
P=3x^2+6xy^2,Q=4y^3+6x^2y,
δP/δy=12xy=δQ/δx,
所以这是全微分方程，
u(x,y)=∫[0,x](3x^2+6xy^2)dx+∫[0,y]4y^3dy
=x^3+3x^2y^2+y^4,
方程通解:x^3+3x^2y^2+y^4=C.

Answer 2

如果右端函数f对未知函数y和它的各阶导数的全体而言是一次的，则称为线性方程y'
+
p(x)y
=
q(x)y'
和
y
都是一次的。
看y,y',y'',即y以及y的导数的次数，如果全是1次的，则是线性，否则是非线性y''+x²y+x=0线性x²y'+(x-1)y+sinx=0线性(y')²+x=0非线性y'+y²+x=0非线性m
*
[y(x)]''
+
t
*
siny
=
0这个方程中含y的项是siny,这是一个非线性项，所以这个微分方程是非线性的。