Question

大一高数求微分方程通解，yy''-(y')^2+y'=0

Answer 1

yy''-(y')²+y'=0
设p=y'=dy/dx
则y''=dp/dx=(dp/dy)×(dy/dx)=pdp/dy
代入原方程得到 ypdp/dy-p²+p=0
提取公因子p得 p(ydp/dy-p+1)=0
从而得到p=0或者ydp/dy-p+1=0
当p=0时,dy/dx=0,解之得 y=C
当ydp/dy-p+1=0时, ydp/dy=p-1
dp/(p-1)=dy/y
ln|p-1|=ln|y|+C'
ln[(p-1)/y]=C'
(p-1)/y=C1
y'-1=C1y
dy/dx=C1y+1
解之得 ln|C1y+1|=x+C2
C1y+1=e^(x+C2)
所以原方程的通解为y=[e^(x+C2)-1]/C1
特解为y=C

Answer 2

令p=y'
则y"=dp/dx=dp/dy*dy/dx=pdp/dy
代入原方程：ypdp/dy-p^2+p=0
得：p=0或ydp/dy-p+1=0
p=0得：dy/dx=0, 即：y=c
ydp/dy-p+1=0, 得：dp/(p-1)=dy/y, 得：ln(p-1)=lny+c1, 得：p-1=cy
得：dy/dx=cy+1,
得：dy/(cy+1)=cx,
得：ln(cy+1)=cx^2/2+c2
cy+1=e^(cx^2/2+c2)
y=[e^(cx^2/2+c2)-1]/c