Question

若函数f(x)={1-cos√x/ax,x>0;b,x≤0}在x处连续,则ab＝?

Answer 1

将1-cos根号下x等价替换为1/2x,则原式等于lim(1/2x)/ax=b
则ab=1/2

Answer 2

首先证明f(x)在区间上有一个零点，这一点你利用∫(0,π)f(x)sin(x)dx=0就可以很简单地证明了（注意到sin(x)在区间上恒非负，以及利用一下f(x)的连续性（f(x)没有零点的话要么恒正要么恒负）就可以证明）
好了，假设f(x)有一个零点a，而且仅有这一个零点，下面分这样几个步骤进行
1、a不可能是端点，这一点很好证明，仿照第一段证明零点的存在性利用∫(0,π)f(x)sin(x)dx=0以及f(x)的连续性就可以简单地证明。
2、f(x)在[0,a)和(a,π]上异号，加入同正或者同负的话∫(0,π)f(x)sin(x)dx>0或者∫(0,π)f(x)sin(x)dx<0
3、我们不妨设f(x)在[0,a)上为正而在(a,π]上为负
a=π/2时，∫(0,π)f(x)cos(x)dx>0必然成立，矛盾
0
a>π/2时，也是类似的考虑积分∫(0,π)f(x)sin(x+π-a)dx就可以了，也是和0
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