Question

已知圆外切正6边形周长为4根号3，求该圆内接正方形的边长

Answer 1

分析：如下图：在六边形中连接点c、a、b形成一个三角形，它的高H就是六边形中内接圆的直径，底边d=1/6×4√3=2/3√3，据题可知，三角形cab是一个有一个角是30度的直角三角形，有一个角是30度的直角三角形有一个规律，它们三条边的比是2：1：√3，而正方形的边长与其对角线的比是1：√2的关系，问题由此迎刃而解！
解：设：正方形边长为X、六边形对边高为H，
H=2/3×√3²=2
X=√2

Answer 2

圆外切正6边形周长为4根号3,
每条边长=(4√3)/6=(2√3)/3,
每条边的两端端点与圆心连线(即半径)组成等边三角形(圆心角360度/6=60度,半径与正6边形边长的2个夹角相等,即(180-60)/2=60度),
所以半径=等边三角形的高=√{[(2√3)/3]²-[(2√3)/3/2]²}=[(2√3)/3](√3/2)=1,
直径=2,
该圆内接正方形的边长×√2=该圆直径=2,
该圆内接正方形的边长=2/(√2)=√2.

Answer 3

圆外正六边形的边长为:4√3/6=2√3/3
则圆的半径为:2√3/3/√3*2=4/3
圆内接正方形的边长为:4/3*√2=4√2/3