关于微分中值定理的题目
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设M=0,则f(x)=0,因此f′(x)=0,显然
|f′(ξ)|≥2M成立。
设M>0,则由连续函数的介值定理知,存在一点x0ϵ(0,1),使
f(x0)=M。由于x0为区间(0,1)的内点,由费马定理得,f′(x0)=0。
当0≤x0≤1/2时,由拉氏中值定理,f(x0)-f(0)=f′(ξ)x0,其中ξϵ(0,1/2)。取绝对值,得
|f(x0)|=|f′(ξ)|x0≤|f′(ξ)|(1/2),即
|f′(ξ)|≥2M。
当1/2<x0≤1时,由拉氏中值定理,f(1)-f(x0)=f′(ξ1)(1-x0),其中ξ1ϵ(1/2,1)。取绝对值,得
|f(x0)|=|f′(ξ1)|(1-x0)≤|f′(ξ1)|(1/2),即
|f′(ξ1)|≥2M。证毕。
设M=0,则f(x)=0,因此f′(x)=0,显然
|f′(ξ)|≥2M成立。
设M>0,则由连续函数的介值定理知,存在一点x0ϵ(0,1),使
f(x0)=M。由于x0为区间(0,1)的内点,由费马定理得,f′(x0)=0。
当0≤x0≤1/2时,由拉氏中值定理,f(x0)-f(0)=f′(ξ)x0,其中ξϵ(0,1/2)。取绝对值,得
|f(x0)|=|f′(ξ)|x0≤|f′(ξ)|(1/2),即
|f′(ξ)|≥2M。
当1/2<x0≤1时,由拉氏中值定理,f(1)-f(x0)=f′(ξ1)(1-x0),其中ξ1ϵ(1/2,1)。取绝对值,得
|f(x0)|=|f′(ξ1)|(1-x0)≤|f′(ξ1)|(1/2),即
|f′(ξ1)|≥2M。证毕。
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