Question

关于函数极限的问题

函数极限的定义是：f(x) 在点Xo 以A为极限的定义是： 对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数δ ，使得当x满足不等式0<|x-x。|<δ 时，对应的函数值f(x)都满足不等式： |f(x)-A|<ε ，那么常数A就叫做函数f(x)当 x→x。时的极限。
这里面有个去心邻域的问题
如果这个邻域不去心，即某个函数在不去心的时候满足上述条件，是否是有极限？？
另外在证明复合函数极限时，需要被复合的函数在期邻域内有不等于极限的值，如果等于了又会怎样，难道就不成立了么？

Answer 1

函数极限的定义如楼主所说。如若在不去心的领域也满足上述条件，当然是有极限的。因为去心的情况蕴含不去心的情况，即去心的情况可以推出不去心的情况。而且能推出函数在该点连续的性质。
换种表达，函数的在该点的极限等于该点的函数值，函数在该点连续。

如果g（t0）= x0 在t0一个充分小的领域内 被复合函数g 都有g（t）= x0 这种就是退化了的情况，极限当然有，但是从复合函数图像上来看 就只一段平行于x轴的线，没必要讨论极限了。 极限的意义在于两边趋向于该点的趋势，根本不在乎这点的值， 哪怕该点连定义都没有，只要满足上述条件， 不影响函数在该点有极限。你可以看看第一类和第二类间断点的含义就明白了

Answer 2

第一个问题：想一下符号函数在0处的情况就明白了。。。
第二个问题：复合函数取极限，一般要求外函数连续的，这样就可以直接求内函数极限。。。