Question

设a，b，c为实数，求证：a²+b²+c²≥ab+bc+ca.

Answer 1

a²+b²+c²-ab-bc-ca
乘以2
=2[a²+b²+c²-ab-bc-ca]
=2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc
=a^2-2ab+b^2+a^2-2ac+c^2+b^2-2bc+c^2
=(a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2
因为
(a-b)^2≥0
(a-c)^2≥0
(b-c)^2≥0
所以
(a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2≥0
即
a²+b²+c²-ab-bc-ca≥0
所以
a²+b²+c²≥ab+bc+ca.

Answer 2

a²+b²+c²-ab-bc-ca
=½﹙2a²＋2b²＋2c²－2ab－2ac－2bc﹚
=½[(a-b)²+(a-c)²+(b-c)²]
≥0
∴a²+b²+c²≥ab+bc+ca.

Answer 3

根据柯西不等式：
(a²+b²+c²)(b²+c²+a²)≥(ab+bc+ca)²,得到(a²+b²+c²)≥|(ab+bc+ca)| ≥ab+bc+ca

Answer 4

a^2+b^2-2ab+a^2+c^2-2ac+b^2+c^2-2bc =2(a^2+b^2+c^2-(ab+ac+bc))
=(a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2>=0
所以a^2+b^2+c^2>=ab+bc+ca