设a,b,c为实数,求证:a²+b²+c²≥ab+bc+ca.
4个回答
展开全部
a²+b²+c²-ab-bc-ca
乘以2
=2[a²+b²+c²-ab-bc-ca]
=2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc
=a^2-2ab+b^2+a^2-2ac+c^2+b^2-2bc+c^2
=(a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2
因为
(a-b)^2≥0
(a-c)^2≥0
(b-c)^2≥0
所以
(a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2≥0
即
a²+b²+c²-ab-bc-ca≥0
所以
a²+b²+c²≥ab+bc+ca.
乘以2
=2[a²+b²+c²-ab-bc-ca]
=2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc
=a^2-2ab+b^2+a^2-2ac+c^2+b^2-2bc+c^2
=(a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2
因为
(a-b)^2≥0
(a-c)^2≥0
(b-c)^2≥0
所以
(a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2≥0
即
a²+b²+c²-ab-bc-ca≥0
所以
a²+b²+c²≥ab+bc+ca.
展开全部
a²+b²+c²-ab-bc-ca
=½﹙2a²+2b²+2c²-2ab-2ac-2bc﹚
=½[(a-b)²+(a-c)²+(b-c)²]
≥0
∴a²+b²+c²≥ab+bc+ca.
=½﹙2a²+2b²+2c²-2ab-2ac-2bc﹚
=½[(a-b)²+(a-c)²+(b-c)²]
≥0
∴a²+b²+c²≥ab+bc+ca.
已赞过
已踩过<
评论
收起
你对这个回答的评价是?
展开全部
根据柯西不等式:
(a²+b²+c²)(b²+c²+a²)≥(ab+bc+ca)²,得到(a²+b²+c²)≥|(ab+bc+ca)| ≥ab+bc+ca
(a²+b²+c²)(b²+c²+a²)≥(ab+bc+ca)²,得到(a²+b²+c²)≥|(ab+bc+ca)| ≥ab+bc+ca
已赞过
已踩过<
评论
收起
你对这个回答的评价是?
展开全部
a^2+b^2-2ab+a^2+c^2-2ac+b^2+c^2-2bc =2(a^2+b^2+c^2-(ab+ac+bc))
=(a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2>=0
所以a^2+b^2+c^2>=ab+bc+ca
=(a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2>=0
所以a^2+b^2+c^2>=ab+bc+ca
已赞过
已踩过<
评论
收起
你对这个回答的评价是?
推荐律师服务:
若未解决您的问题,请您详细描述您的问题,通过百度律临进行免费专业咨询