Question

已知双曲线c：x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)离心率为根号3，右焦点为F,过点M（1，0）

且斜率为1的直线与双曲线C交于AB两点，并且向量FA*向量FB=4，求双曲线方程？答案如下：
因为c/a=√3,即c=√3a,所以F(√3a,0)且b²=c²-a²=2a²，
将直线y=x-1代入双曲线x²/a²-y²/(2a²)=1，
得x²+2x-1-2a²=0，设A(x1,y1),B(x2,y2)
则x1+x2=-2，x1x2=-1-2a²，
y1y2=(x1-1)(x2-1)=x1x2-(x1+x2)+1=2-2a²，
因为向量FA*向量FB=(x1-√3a)(x2-√3a)+y1y2=4，
即a²-2√3a+3=0，所以a=√3，
故双曲线方程为x²/3-y²/6=1。
因为向量FA*向量FB=(x1-√3a)(x2-√3a)+y1y2=4这步是怎样算的

Answer 1

因为向量FA=(x1,y1)-(c,0)=(x1-c,y1-0)=(x1-√3a,y1), 【向量终点坐标减始点坐标】
向量FB=(x2,y2)-(c,0)=(x2-c,y2-0)=(x2-√3a,y2).
向量FA.向量FB=(x1-√3a,y1)*(x2-√3a,y2)
=(x1-√3a)(x2-√3a)+y1y2.
=(x1-√3a)(x2-√3a)+y1y2=4.
【两个向量的点积(数量积)=对应坐标乘积之和！】

Answer 2

因为A(x1,y1),B(x2,y2),F(√3a,0)
所以向量FA=(x1-√3a,y1)，向量FB=(x2-√3a,y2)
因为向量FA*向量FB=4，
所以向量FA*向量FB=(x1-√3a)(x2-√3a)+y1y2=4，