Question

若m是2和8的等比中项，则m=_____，圆锥曲线x2+y2m=1的离心率是__...

若m是2和8的等比中项，则m=_____，圆锥曲线x2+y2m=1的离心率是_____32或532或5．

Answer 1

解：∵m是2和8的等比中项，∴m2=2×8=16，解之得m=±4．
当m=4时，曲线x2+y2m=1即x2+y24=1，表示焦点在y轴上的椭圆，
∵a12=4且b12=1，
∴a1=2，c1=a12-b12=3，椭圆的离心率e1=c1a1=32；
当m=-4时，曲线x2+y2m=1即x2-y24=1，表示焦点在x轴上的双曲线，
同理可得a2=1，c2=a22+b22=5，双曲线的离心率e2=c2a2=5．
综上所述，m的值为±4；，圆锥曲线x2+y2m=1的离心率是32或5．
故答案为：±4，32或5