Question

已知函数f（x)=x^3+ax^2+bx+c在x=2处有极值，其图像在x=1处的切线平行于直线y=-

已知函数f（x)=x^3+ax^2+bx+c在x=2处有极值，其图像在x=1处的切线平行于直线y=-3x-2,求函数极大值和极小值之差

Answer 1

简单计算一下即可，详情如图所示

Answer 2

f(x)=x^3+ax^2+bx+c
则，f'(x)=3x^2+2ax+b
已知在x=2处有极值，则f'(2)=0
即，12+4a+b=0………………………………………………（1）
在x=1处切线与y=-3x-2平行，则切线的斜率为k=-3
即，f'(1)=-3，代入得到：
3+2a+b=-3……………………………………………………（2）
联立(1)(2)解得：a=-3，b=0
所以：f(x)=x^3-3x^2+c
且f'(x)=3x^2-6x=3x*(x-2)
则，当f'(x)=0时有x=0，或者x=2
当x＞2时，f'(x)＞0，f(x)递增；
当0＜x＜2时，f'(x)＜0，f(x)递减；
当x＜0时，f'(x)＞0，f(x)递增。
那么：f(x)在x=0处取得极大值=c；在x=2处取得极小值=8-12+c=c-4
所以，极大值与极小值之差=c-(c-4)=4.