Question

函数连续性讨论

狄利克雷函数为何在任何实数点间断？黎曼函数为何在无理点连续，有理点间断？

Answer 1

D(x)=1，x有理数；D(x)=0，x是无理数。很显然，对任意的x，可以找到一个有理点列xk和无理点列yk，趋于这个点。对应的函数值的极限分别是1和0，因此极限不存在，更不连续。
R(p/q)=1/q，R(无理点)=0。只要证明了对任意的a，当x趋于a时，有lim R(x)=0，则在无理点函数值=极限值，连续；在有理点，函数值不等于极限值，不连续。
对任意的e>0，考虑集合E=(a--1，a+1)\{a|，因为满足不等式1/q>e的正整数只有有限个，因此在集合E中只有有限个点x1，x2，....，xk满足函数值>e，记d=min{|xi--a|}>0，则在(a--d，a+d)\{a}中没有能满足函数值>e的点，即对任意的x位于a的空心d邻域，必有|R(x)|<e，故lim R(x)=0。于是结论成立。