Question

已知函数f(x)=(a-1/2)x²+ln x.(a∈R)

已知函数f(x)=(a-1/2)x²+ln x.(a∈R)(1)当a=1时，求f(x)在区间[1,e]上的最大值和最小值；
(2)求f(x)的极值

Answer 1

【第一题】
（1）解：设x1，x2∈[1,e]，且满足x2＞x1，
而a=1
则，f(x2) - f(x1) = (1-1/2)[(x2)² - (x1)² ] + (ln x2 -ln x1)
= (1/2)(x2+ x1)(x2 - x1) + ln (x2 /x1)
根据对数函数y=lnx的性质可知，原函数f(x)的定义域为 x＞0
即，x2＞x1＞0，即x2 /x1＞1
∴(x2+ x1)(x2 - x1)＞0，ln(x2 /x1)＞ln1＞0
∴ f(x2) - f(x1)= (1/2)(x2+ x1)(x2 - x1) + ln (x2 /x1)＞0
即，f(x2) ＞ f(x1)
∴f(x)在区间[1,e]上单调递增，
而，f(1) = (1/2)*1 + ln1 = 1/2 ，f(e)= (1/2)*e² + lne = (1/2)e² + 1
∴f(x)在区间[1,e]上的最大值为f(e) =(1/2)e² + 1，最小值为 f(1) = 1/2

【第二题】
（2）解：由原函数f(x)得，导函数f'(x) = 2(a-1/2)x + (1/x)， 其中 a∈R，x＞0
化简得，f'(x) = (1/x)【(2a-1)x² + 1】
令 f'(x) = 0，
化简得， x² = 1 /(1 -2a)

①假设1 - 2a＞0，即a＜1/2， 方程f'(x) = 0的解是 x=1/√(1-2a)
代入原函数， f[1/√(1-2a)] = (a-1/2)/(1-2a)+ ln[1/√(1-2a)] = - 1/2 - (1/2)*ln(1-2a)
当x＞1/√(1-2a)时，x² ＞1 /(1 -2a) ∴(2a-1)x² + 1＞0，
又1/x＞0 ∴f'(x)＞0
即，x＞1/√(1-2a)时，原函数f(x)单调递增。
同理，当0＜x＜1/√(1-2a)时，(2a-1)x² + 1＜0，1/x＞0， 则f'(x)＜0
即，x＜1/√(1-2a)时，原函数f(x)单调递减。
∴a＜1/2时，原函数f(x)在 x = 1/√(1-2a) 处取得最小值 - 1/2 - (1/2)*ln(1-2a)

②假设1 - 2a = 0，即a=1/2，则方程f'(x) = 0的解是 x=0，但这与x＞0矛盾，故f'(x) ≠ 0
即，原函数f(x) 在 定义域(0,+∞)上不存在极值。

③假设1 - 2a ＜ 0，即a＞1/2，则方程f'(x) = 0无实解，即f'(x) ≠ 0
换言之，
a＞1/2时，原函数f(x) 在 定义域(0,+∞)上不存在极值。

综上所述，当a＜1/2时，原函数f(x)在x=1/√(1-2a)时取得最小值 - 1/2 - (1/2)*ln(1-2a)，
当a ≥ 1/2时，原函数f(x) 在 定义域(0,+∞)上不存在极值。