Question

抛物线y=1/4x^2-4与x轴相交于a,b两个点,p是以c(0,3)为圆心,半径为2的圆上的动

如图,已知抛物线y=1/4x2+bx+4与x轴相交于A.B两点,与x轴相交于点c,若已知A点的坐标为A（-2,0）
（1）求抛物线的解析式及他的对称轴方程 2.若P是抛物线上一动点,以点P为圆心的圆半径为8/5倍的根号5,是否存在P,使⊙P与直线BC相切?如果存在,求出点P的坐标,并说明理由.

Answer 1

已知抛物线y=(1/4)x²+bx+4与x轴相交于A.B两点,与y轴相交于点c,若已知A点的坐标为A（-2,0）；(1).求抛物线的解析式及他的对称轴方程 ；(2).若P是抛物线上一动点,以点P为圆心的圆半径为(8/5)√5,是否存在P,使⊙P与直线BC相切?如果存在,求出点P的坐标,并说明理由.
(1).将A点的坐标代入抛物线方程得(1/4)×(-2)²-2b+4=-2b+5=0,故b=5/2；
于是得抛物线的解析式为y=(1/4)x²+(5/2)x+4;
由y=(1/4)x²+(5/2)x+4=(1/4)(x²+10x)+5=(1/4)[(x+5)²-25]+4=(1/4)(x+5)²-9/4；得对称轴方程为x=-5.
(2).令y=(1/4)x²+(5/2)x+4=0.得x²+10x+16=(x+2)(x+8)=0,得x₁=-8,x₂=-2；即B(-8,0)；A(-2,0)
再令x=0,得y=4,即C(0,4)；故BC所在直线的方程为y=(1/2)x+4,即x-2y+8=0；
设抛物线上的动点P的坐标为(m,n)；那么依题意有等式：
P在抛物线上,故n=(1/4)m²+(5/2)m+4.(1)
P与BC相切,故∣m-2n+8∣/√5=(8/5)√5,即有
∣m-2n+8∣=8.(2)；
由(2)得m-2n+8=8,即m-2n=0,m=2n,代入(1)式得n=n²+5n+4,即有n²+4n+4=(n+2)²=0；
此时n=-2,m=-4,即P₁点的坐标为P₁(-4,-2)；
或m-2n+8=-8,即m-2n+16=0,即m=2n-16,代入(1)式得n=(1/4)(2n-16)²+(5/2)(2n-16)+4；
展开化简得n²-12n+28=0,n=(12±√32)/2=6±2√2,m=2(6±2√2)-16=-4±4√2；
即P₂(-4+4√2,6+2√2)；P₃(-4-4√2,6-2√2)；
故抛物线上有三点：P₁(-4,-2),P₂(-4+4√2,6+2√2)；P₃(-4-4√2,6-2√2)满足要求：以它们为圆心,(8/5)√5为半径的园都与直线BC相切.