Question

四棱锥s-abcd的底面是正方形,sd⊥平面abcd,求证:ac⊥平面sdb

如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，E是SD的中点． (1)求证：SB∥平面EAC； (2)求证：AC⊥BE． ____

Answer 1

【分析】 (1)画出图形，证明平面EAC外的直线SB与平面内的直线EO平行，即可证明SB∥平面EAC； (2)要证AC⊥BE，只要证明AC垂直EB所在的平面SDB即可，需要证明AC⊥BD，AC⊥SD． (Ⅰ)证明：连接BD交AC于点O，连接EO． 因为底面ABCD是正方形， 所以O是BD的中点． 又因为E是SD的中点， 所以EO∥SB． 又因为EO⊂平面EAC，SB⊄平面EAC， 所以SB∥平面EAC． (Ⅱ)因为底面ABCD是正方形， 所以AC⊥BD． 因为SD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD， 所以AC⊥SD． 又因为SD∩BD=D， 所以AC⊥平面BDS． 因为BE⊂平面BDS， 所以AC⊥BE． 【点评】 本题考查直线与平面平行，直线与平面垂直，考查学生转化思想，逻辑思维能力，是中档题．