Question

在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片OABC已知O（0,0），A（4,0）C（0,3）...

在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片OABC已知O（0,0），A（4,0）C（0,3）点P是OA边上的动点
在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片OABC已知O（0,0），A（4,0）C（0,3）点P是OA边上的动点（不与O,A重合）现将△PAB沿PB翻折，得到△PFE，并使直线PD,PF重合。⑴设P（x,0),E(0,y),求y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围，并求出y的最大值；⑵如图二，若翻折后点D落在BC上，求过点P,B,E的抛物线关系式 ⑶在⑵的情况下，在跑无线上是否存在点Q，是△PEQ是以PE为直角边的直角三角形，若不存在，请说明理由，若存在，求出点Q坐标

Answer 1

（Ⅰ）证明：由翻折可知：△OPE≌△FPE，△ABP≌△DBP，
∴∠OPE=∠FPE，∠APB=∠DPB，又∠OPE+∠FPE+∠APB+∠DPB=180°，
∴∠EPB=∠EPF+∠DPB=∠OPE+∠APB=90°，又∠OPE+∠OEP=90°，
∴∠OEP=∠APB，又∠POE=∠BAP=90°，
∴△POE∽△BAP；

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知：△POE∽△BAP，
∴OP/AB=OE/AP，又OP=x，OE=y，故PA=4-x，AB=3，
即x/3=y/(4-x)，化简得：y=1/3x（4-x）=-1/3x^2+4/3x，且0＜x＜4，
∴当x=-b/2a=-4/3/2×(-1/3)=2时，ymax=4ac-b^2/4a=4×(-1/3)×0-(4/3)^2/4×(-1/3)=4/3；

（Ⅲ）解：根据题意可知：△EOP和△PAB都为等腰直角三角形，且OP=OE=1，AP=AB=3，
则E（0，1），P（1，0），B（4，3），设过三点的抛物线解析式为：y=ax2+bx+c，
把三点坐标代入得：{c=1① a+b+c=0② 16a+4b+c=3③，
③-②×4得：12a-3c=3，把c=1代入解得：a=1/2，
把a=1/2，c=1代入②解得：b=-3/2，故y=1/2x^2-3/2x+1；

（Ⅳ）解：存在．
当点P为△EPQ的直角顶点时，由EP⊥PB，得到Q（4，3）；
当点E为△EPQ的直角顶点时，过点E作EQ⊥EP，交抛物线与点Q，
由EQ∥PB，设直线PB的方程为：y=kx+b，
把P（1，0）和B（4，3）代入得：{k+b=0① 4k+b=3②，
②-①得：3k=3，解得：k=1，把k=1代入①得：b=-1，
所以直线PB的方程为：y=x-1，则直线EQ的斜率为1，
则直线EQ的方程为：y=x+m，把E（0，1）代入得：m=1，即直线EQ的方程为：y=x+1，
与抛物线解析式联立消去y得：x+1=1/2x^2-3/2x+1，即x（x-5）=0，解得：x=0或x=5，
把x=5代入直线EQ方程y=x+1得：y=6，故Q（5，6），
综上，满足题意的Q点的坐标为（4，3）或（5，6）．
楼主打字很不容易，给点小分吧！！！祝学习进步