Question

一道高中数学关于求直线关于直线对称方程的问题

已知直线A:2x+y-4=0,求直线A关于直线L:3x+4y-1=0对称的直线B的方程。 正确答案是B:2x+11y+16=0 但是我无论如何都没有办法把这个正确答案求出来 求详细的解答过程。

Answer 1

先求出A与L的交点
2x+y-4=0
3x+4y-1=0
x=3,y=-2
直线B关于直线L:3x+4y-1=0对称
所以B必过(3,-2)
设B的方程
y=kx+b
-2=3k+b,b=-2-3k
所以B的方程为
kx-y-2-3k=0
因为直线A:2x+y-4=0,关于直线L:3x+4y-1=0对称
所以L上的任一点到A和B的距离相等
在L上取一点(-5,4),根据点线距离公式
|2*(-5)+1*4-4|/√(2^2+1^2)=|k*(-5)-1*4-2-3k|/√(k^2+1^2)
10/√5=|-8k-6|/√(k^2+1)
100/5=(64k^2+96k+36)/(k^2+1)
11k^2+24k+1=0
k=-2(舍弃,与A平行),k=-2/11
所以B的方程为-2x/11-y-2+3*2/11=0
-2x-11y-22+6=0
2x+11y+16=0