Question

已知函数y=a1-x（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线xm+yn=...

已知函数y=a1-x（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线xm+yn=1（m＞0，n＞0）上，则m+n的最小值为_____．

Answer 1

解：∵函数y=a1-x（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A（1，1），点A在直线
x
m
+
y
n
=1（m＞0，n＞0）上，
∴
1
m
+
1
n
=1，∴m+n=（
m+n）（
1
m
+
1
n
）=2+
n
m
+
m
n
．
∵m＞0，n＞0，由基本不等式可得
n
m
+
m
n
≥2，当且仅当
n
m
=
m
n
时，等号成立．
再由
1
m
+
1
n
=1可得，当且仅当 m=n=2时，等号成立．
故
m+n=2+
n
m
+
m
n
≥4，当且仅当
m=n=2时，等号成立．
故m+n的最小值为4，
故答案为
4．