Question

函数 y=225/4(sinx)^2+2/cosx的最小值

设X在(0,π/2),则函数函数 y=225/4(sinx)^2+2/cosx的最小值为多少 这是一道湖北的奥赛题,我知道结果,要的是过程,过程!

Answer 1

y=225/4(sinx)^2+2/cosx=225/[8(1-cosx)]+225/[8(1+cosx)]+2/cosx
=225/[8(1-t)]+225/[8(1+t)]+2/t
t=cosx
x=25(1-t)/16+9(1+t)/16+t=17/8
用柯西不等式:
sqrt()是开平方根
x*y≥{sqrt[(225/8)(25/16)]+sqrt[(225/8)(9/16)]+√2}^2
x*y≥[5*5*3/8√2+5*3*3/8√2+√2]^2=(15√2/2+√2)^2=(17/√2)^2
y≥68
等号当切仅当t=cosx=1/4
时成立。