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证：
n=1时，1³=1 ¼n²(n﹢1)²=1²×(1+1)²/4=4/4=1，等式成立。
假设当n=k(k∈N，k≥1)时，等式成立，即
1³＋2³＋3³＋……＋k³=¼k²(k﹢1)²
则当n=k+1时，
1³＋2³＋3³＋……＋k³+(k+1)³=¼k²(k﹢1)²+(k+1)³
=[(k+1)²/4][k²+4(k+1)]
=[(k+1)²/4](k²+4k+4)
=[(k+1)²/4](k+2)²
=¼(k+1)²[(k+1)+1]²
等式同样成立。
综上，得1³＋2³＋3³＋……＋n³=¼n²(n﹢1)²，等式成立。
n=1时，1³=1 ¼n²(n﹢1)²=1²×(1+1)²/4=4/4=1，等式成立。
假设当n=k(k∈N，k≥1)时，等式成立，即
1³＋2³＋3³＋……＋k³=¼k²(k﹢1)²
则当n=k+1时，
1³＋2³＋3³＋……＋k³+(k+1)³=¼k²(k﹢1)²+(k+1)³
=[(k+1)²/4][k²+4(k+1)]
=[(k+1)²/4](k²+4k+4)
=[(k+1)²/4](k+2)²
=¼(k+1)²[(k+1)+1]²
等式同样成立。
综上，得1³＋2³＋3³＋……＋n³=¼n²(n﹢1)²，等式成立。
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