Question

p是等边三角形abc内任意一点,由p向三边bc、ac、ab分别引垂线段pd、pe、pf。求证pd＋pe＋pf为定值。

Answer 1

分别连接p点和三角形三个顶点。
三角形是等边三角形，三边长相等，即bc=ac=ab
三角形面积=三个小三角形面积之和=bc×pd/2 +ac×pe/2+ab×pf/2=(bc/2)(pd+ac+ab)
对于确定的三角形，边长bc一定，bc/2一定，面积是定值，因此pd+ac+ab为定值。

其实这个定值是可以求出来的。
三角形面积=[bc×(√3/2)bc]/2=(√3/4)bc²
(bc/2)(pd+ac+ab)=(√3/4)bc²
pd+ac+ab=(√3/2)bc，即pd+pe+pf为定值，这个定值就是等边三角形任意一边上的高的长度。