Question

已知函数f(x)＝sin^2x+acosx+5/8a-3/2,a∈R （1当a=1,求函数f(x)最大值 （2如果对于区间[0，π/2]上任...

已知函数f(x)＝sin^2x+acosx+5/8a-3/2,a∈R
（1当a=1,求函数f(x)最大值
（2如果对于区间[0，π/2]上任意一个x,都有f(x)<=1成立求a的取值范围

Answer 1

（1）当 a=1 时，
f(x)=sin²x+cosx+5/8-3/2
=1-cos²x+cosx-7/8
=-cos²x+cosx+1/8
=-(cosx-1/2)²+3/8
其中 cosx∈[-1，1]
可见，
f(x) 的最大值为3/8，
此时 cosx=1/2。
（2）参照（1）的处理方法，
先对函数表达式变形如下：
f(x)=1-cos²x+acosx+(5a-12)/8
=-cos²x+acosx+(5a-4)/8…………△
=-(cosx-a/2)²+(2a²+5a-4)/8…………□
在 [0，π/2] 区间内，cosx∈[0，1]
根据题意，此时 f(x)在 [0，π/2] 上的最大值不大于1，
分以下情形讨论：
①当a＜0，此时最大值为cosx=0，代入式（△），即得
(5a-4)/8≤1
解得 a≤12/5，
故a＜0；
②当0≤a≤2，此时最大值为cosx=a/2，代入式（□），即得
(2a²+5a-4)/8≤1
解得 -4≤a≤3/2，
故0≤a≤3/2；
③当a＞2，此时最大值为cosx=1，代入式（△），即得
-1+a+(5a-4)/8≤1
解得 a≤20/13，
故无解。
综合①②③，可得
a的取值范围为a≤3/2。

Answer 2

当 a=1 时，
f(x)=sin²x+cosx+5/8-3/2
=-(cosx-1/2)²+3/8
其中 cosx∈[-1，1]
可见，
f(x) 的最大值为3/8，
此时 cosx=1/2。
（2）参照（1）的处理方法，
先对函数表达式变形如下：
f(x)=1-cos²x+acosx+(5a-12)/8
=-cos²x+acosx+(5a-4)/8…………△
=-(cosx-a/2)²+(2a²+5a-4)/8…………□
在 [0，π/2] 区间内，cosx∈[0，1]
根据题意，此时 f(x)在 [0，π/2] 上的最大值不大于1，
分以下情形讨论：
①当a＜0，此时最大值为cosx=0，代入式（△），即得
(5a-4)/8≤1
解得 a≤12/5，
故a＜0；
②当0≤a≤2，此时最大值为cosx=a/2，代入式（□），即得
(2a²+5a-4)/8≤1
解得 -4≤a≤3/2，
故0≤a≤3/2；
③当a＞2，此时最大值为cosx=1，代入式（△），即得
-1+a+(5a-4)/8≤1
解得 a≤20/13，
故无解。
综合①②③
a的取值范围为a≤3/2。

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