Question

不计算积分，比较下列定积分的大小？

Answer 1

1,在(0,)]上，显然有x<x^2,由定积分的不等式性质，也有∫
_0^1_
x
dx
<
∫
_0^1_
x^2
dx.
2,在（0，π/2）上，有x>sinx,由定积分的不等式性质，也有∫
_0^π/2_
x
dx
>
∫
_0^π/2_
sinx
dx.
定积分的不等式性质:若f(x)<g(x),x属于(a,b),则有∫_a^b_
f(x)
dx
<
∫_a^b_
g(x)
dx
.

Answer 2

三题都是前者大于后者。理由如下：
（4）1<x<e时0<lnx<1,
两边都乘以lnx,得(lnx)^2<lnx.
(5)设f(x)=x-ln(1+x),x>0,
f'(x)=1-1/(x+1)=x/(x+1)>0,
f(x)是增函数，
f(x)>f（0）=0,
所以x>lnx.
(6)仿上，0<x<1时e^x-1>x.

Answer 3

(4)
x∈(1,e)
0<lnx<1
lnx > (lnx)^2
∫(1->e) lnx dx > ∫(1->e) (lnx)^2 dx
(5)
x∈(0,1)
x>ln(1+x)
∫(0->1) x dx >∫(0->1) ln(1+x) dx
(6)
(6)
x∈(0,1)
e^x -1 > x
∫(0->1) (e^x -1) dx > ∫(0->1) x dx