Question

tan²(1°)+tan²(2°)+tan²(3°)+...+tan²(89°)=？

请务必写出完整过程，只给答案或方法的不给分。

Answer 1

1.首先安装任意版本的Matlab
2.输入代码如下
x=1*pi/180:1*pi/180:89*pi/180;
S=sum(tan(x).*tan(x))
回车即可
3.结果为
S = 5.3103e+003
这个题目不可能出现在高考及高中数学竞赛中 只能出现在计算机类编程题里
一般高中数学题目是这么出的
tan²(1°)×tan²(2°)×tan²(3°)×...×tan²(89°)
tan1°×tan2°×tan3°...×tan89°
请仔细检查题目 祝玩的开心 学得开心 ~~
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后来看到其他网友回答的更好 解答摘录如下
方法二：
证明：用到的公式有tan²a=tan^2(90-a)=cot^2(a) 1+cot^2(a)=csc^2(a)
tan²1°+tan²2°+tan²3°+···+tan²89°=(tan^2(1)+cot^2(1))+(tan^2(2)+cot^2(2))+...+(tan^2(44)+cot^2(44))+tan^2(45)=1/(sin^2(1)*cos^2(1))-2+......+(tan^2(44)+cot^2(44))+tan^2(45)=4csc^2(2)+4csc^2(4)+4csc^2(6)+........4csc^2(88)+tan^2(45)-2*44
=4(1+cot^2(2))+4(1+cot^2(4)）+.........+4(1+cot^2(88)）+1-2*44
=4*44+1+4cot^2(2)+4cot^2(4)+.....+4cot^2(88) -2*44
＝4*44+1+4(cot^2(2)+cot^2(88))+........-2*44
=4*44+1+4(cot^2(2)+tan^2(2))+.......-2*44
下面反复应用tan²a=tan^2(90-a)=cot^2(a) 1+cot^2(a)=csc^2(a)
就不求了。
最后可以证明tan²1°+tan²2°+tan²3°+···+tan²89°=5310+(1/3)
方法三：
cosnx+isinnx = (cosx+isinx)^n = (cosx)^n+C(n,1)(cosx)^{n-1}(isinx)+...+(isinx)^n
比较虚部得到
sinnx = C(n,1)(cosx)^{n-1}(sinx)-C(n,3)(cosx)^{n-3}(sinx)^3+...
取n=2m=180, x=1°,2°, ..., 89°代入，左边总是零，两边同除以cosx(sinx)^{n-1}，并令t=(cotx)^2得到
C(2m,1)t^{m-1}-C(2m,3)t^{m-3}+...=0
也就是说tan²1°, tan²2°, ..., tan²89°恰好是上述关于t的89次多项式的根，利用Vieta定理就得到其和为C(180,3)/C(180,1)=15931/3
这个解法真高 看到以后想起了为数学奋斗的高中时代 感动。。。

Answer 2

tan1°tan2°tan3°…tan89°=1．

根据锐角三角函数的概念，可以证明：互为余角的两个角的正切值互为倒数；熟记tan45°=1．
解答：解：tan1°tan2°tan3°…tan89°
=（tan1°•tan89°）（tan2°•tan88°）…（tan44°•tan46°）•tan45°
=1．
点评：掌握互为余角的两个角的正切值的关系：互为余角的两个角的正切值互为倒数．
熟记特殊角的锐角三角函数值．